Parma
Introduction to Calabi-Yau and Hyperkähler varieties
Abstract: The aim of the course is to give an introduction to the theory of complex varieties with trivial canonical bundle, in particular of Calabi-Yau and Hyperkähler manifolds.
We will start from some motivations and definitions from differential geometry, and then translating them into the language of complex algebraic geometry. We will focus on some examples, give some results on their cohomologies and focus on their deformations.
Here is a proposal for the program of the course (which may change according to the interests of the audience):
Motivations (4 hours)
Connections and holonomy on Riemannian manifolds, Bogomolov decomposition theorem;
Berger's classification and the Kähler holonomy groups (U(m), SU(m) and Sp(m)).
Calabi-Yau manifolds (6 hours)
Differential and algebro-geometric definitions;
Examples (in particular, the Dwork pencil of quintic hypersurfaces in P^4);
Deformations and the Bogomolov-Tian-Todorov unobstructedness theorem;
Periods, mirror symmetry.
Irreducible Holomorphic Symplectic manifolds (6 hours)
Differential and algebro-geometric definitions;
Examples (in particular, K3 surfaces and the Hilbert scheme of length 2 zero-dimensional subschemes of a K3 surface);
The Beauville-Bogomolov-Fujiki quadratic form on the second cohomology and some of its properties;
The case of the Hilbert scheme more in detail.
As references, we will mainly follow Beauville's paper "Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle" and Gross, Huybrechts, Joyce's book “Calabi-Yau manifolds and related geometries”.
Docente: Andrea Cattaneo
Periodo/durata:
The course will take ideally 16 hours (2 hours each week, in the period March/April 2016), at the Math Department of University of Parma.
Trasformate di Fourier e di Laplace e loro applicazioni
Abstract: - Trasformata di Fourier: passaggio dalla serie di Fourier alla trasformata, definizione di antitrasformata, regole di trasformazione, teorema di convoluzione, esempi di calcolo di trasformate e di antitrasformate, applicazioni a equazioni differenziali della fisica matematica. - Trasformata di Laplace: definizione, semipiano di convergenza, regole di trasformazione, trasformata della distribuzione Gaussiana, applicazioni a problemi di Cauchy. - Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui: integrali di funzioni reali, integrale di Fourier e integrale di Laplace utili nelle antitrasformate; teoremi (con dimostrazioni) ed esempi.
Docente: Marzia Bisi
Modalità: reading course, con disponibilità di slides in formato pdf e di video delle lezioni.
Kitheory of reactive gas mixtures
Abstract:
Mathematical modelling of multicomponent gaseous flows with chemical reactions is related to a
wide range of important applications including
spacecraft flights, plasma physics, combustion processes and chemical reactors.
Consideration of governing equations at the kinetic level is often essential in order to properly
account for the molecular aspects of the flows and to go deeper into the physical understanding of
the model.
Moreover, kinetic equations represent also the starting point for a consistent derivation, via suitable
expansion algorithms and closure strategies, of hydrodynamic equations at a macroscopic level.
The aim of the course is to present some basic concepts and recent advances on the kinetic
modelling of gas mixtures with chemical reactions. In particular, the lectures will present a brief
introduction to the Boltzmann equation and its main features (collision invariants, collision
equilibria, H-Theorem, asymptotic expansion and fluid dynamic limits); kinetic
models of Boltzmann type for gas mixtures of monoatomic and polyatomic gases with simple
chemical reactions; relaxation-time approximations of BGK type for inert and reactive gas mixtures.
Docente: Maria Groppi
Periodo: gennaio-febbraio 2016, 8-10 ore circa (4 -5 lezioni)
Metodi numerici per equazioni integrali
Abstract: Formulazione integrale di problemi ellittici e iperbolici. Operatori integrali di contorno con
nuclei debolmente singolari, fortemente singolari e ipersingolari. Metodologie di approssimazione:
metodi agli elementi di contorno (collocazione e Galerkin).
Formule di quadratura per integrali debolmente singolari, a valor principale di Cauchy e a parte
finita di Hadamard. Risultati di convergenza.
Schemi numerici per la generazione del sistema lineare relativo alla discretizzazione mediante
metodo di Galerkin agli elementi di contorno.
Docente: Prof. Alessandra Aimi
Periodo di lezione: approssimativamente Aprile-Maggio 2016
Kolmogorov operators and invariant measures
Abstract: I will describe a class of second order elliptic differential operators with unbounded
coefficients in R^n, and the associated semigroups T(t). The prototype is the Ornstein-
Uhlenbeck operator. Such operators do not enjoy nice
properties in L^p spaces with respect to the Lebesgue measure. A better L^p setting is available
if an invariant measure m exists, in which case T(t) is a contraction in L^p(R^n,m). Smoothing
and summability improving properties of T(t), and asymptotic behavior results are also available
under reasonable assumptions.
In the nonautonomous case semigroups are replaced by evolution operators and invariant
measures
by appropriate family of measures depending explicitly on t; however some of the good properties
of
the autonomous case still hold.
Docente: Alessandra Lunardi
Periodo di lezione: 8-10 ore circa (4 -5 lezioni) a gennaio-febbraio 2016, ma si può spostare se
serve
The Riemann zeta-function and its applications to prime-number theory
Abstract: Basic theory of the Riemann zeta-function, connection to the distribution
of prime numbers, the Prime Number Theorem, the Riemann Hypothesis and its
consequences, prime numbers in "short" intervals, the Selberg integral
Docente: Alessandro Zaccagnini
Periodo: Secondo semestre
Dei seguenti quattro corsi, con docente Alberto Saracco, ne può essere attivato uno, a scelta degli
studenti.
1) Algebras of functions
Abstract: An introduction to the theory of Banach and Fréchet algebras, both from the abstract
point of view and from the concrete point of view of algebras of holomorphic functions.
Docente: A. Saracco
Periodo: da concordare con gli studenti, 20 ore
2) Convexity in C^n
Abstract: A survey of the various notions of convexity in C^n (convexity, pseudoconvexity,
holomorphic convexity, C-convexity) and their applications in complex geometry.
Docente: A. Saracco
Periodo: Periodo: da concordare con gli studenti, 20 ore
3) Complex distances and hyperbolicity
Abstract: A survey of the various notions of distance in complex manifolds, paying attention to
various notions of hyperbolicity.
Docente: A. Saracco
Periodo: Periodo: da concordare con gli studenti, 20 ore
4) Cohomology and Vector Bundles
An introduction to sheaves and Dolbeault cohomology and its application to various extension
problems in the theory of several complex variables.
Docente: A. Saracco
Periodo: Periodo: da concordare con gli studenti, 20 ore
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Dei seguenti tre corsi, con docente Luca Lorenzi, ne può essere attivato uno, a scelta degli
studenti.
1) Introduzione alla teoria dei semigruppi.
Abstract: In questo corso presenteremo le principali proprietà dei semigruppi di operatori lineari e
le loro applicazioni allo studio delle equazioni a derivate parziali.
Docente: L. Lorenzi
Periodo: marzo/giugno 2016
2) Equazioni ellittiche in spazi L^p
Abstract: In questo corso presenteremo i risultati classici della teoria L^p per equazioni ellittiche,
tra cui la famosa disuguaglianza di Calderon-Zygmund.
Docente: L. Lorenzi
Periodo: marzo/giugno 2016
3) Teoria delle distribuzioni
Abstract: In questo corso presenteremo i principali risultati della teoria delle distribuzioni e
vedremo alcune delle sue applicazioni allo studio delle PDE.
Docente: L. Lorenzi
Periodo: marzo/giugno 2016
Infinite Dimensional Analysis
docenti: A. Lunardi, M. Miranda
abstract: This is an introductory course about analysis in abstract Wiener spaces, namely separable Banach or Hilbert spaces endowed with a nondegenerate Gaussian measure. Sobolev spaces and spaces of continuous functions will be considered. The basic differential operators (gradient and divergence) will be studied, as well as the Ornstein-Uhlenbeck operator and the Ornstein-Uhlenbeck semigroup, that are the Gaussian analogues of the Laplacian and the heat semigroup. The most important functional inequalities in this context, such as Poincare' and logarithmic Sobolev inequalities, will be proved. Hermite polynomials and the Wiener chaos will be described.
periodo: prima fase ottobre 2015- febbraio 2016 seconda fase marzo 2016- maggio 2016 workshop finale giugno 2016
